1 . 定义各项为正数的数列的“美数”为.若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______.

2 . 设数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.

3 . 已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.

4 . 已知数列与数列的前n项和分别为，则_________；若对于恒成立，则实数的取值范围是___________．

5 . 已知数列满足，，若为等差数列，则___________，若，则数列的前项和为___________.

6 . 对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则___________.

7 . 已知：若函数在上可导，，则.又英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则___________，___________.

8 . “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成的数列的第n项，则的值为__________．

9 . 数列满足，对任意的 都有，则_____________ ．

10 . 已知数列，满足，，．设数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，则正整数的最小值为_________．