1 . 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
个小球，第二层有
个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有 
个小球，共有
层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 
若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位：
）至少为（ ）
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2024-05-08更新
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1054次组卷
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2卷引用：北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题
3 . 将数据
，
，
，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个
，第二行两个
，⋯，最下面一行有个，
）则数阵中所有数据的和为________ .
，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为
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4 . 某投资公司评估一个需要投资980万的项目，该项目从第1年年末开始，每一年的净利润是
万元，而且收益可以持续50年.若年利率为8%，记第年年末的收益现值为
（
，
），
___________ ；若该项目值得投资，则的最小值为___________ 万元.（参考数据：
）
万元，而且收益可以持续50年.若年利率为8%，记第年年末的收益现值为（，），的最小值为）
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名校
解题方法
5 . 1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得
，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为
，对任意的正整数n，都有
，则a的最小值为__________ ．
，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为
，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为
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2021-05-20更新
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1224次组卷
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7卷引用：河南省郑州市2021届高三三模文科数学试题
河南省郑州市2021届高三三模文科数学试题（已下线）专题7.5 数列的综合应用（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）河南省濮阳市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第三次质量检测数学（文）试题（已下线）4.3.3 等比数列的前n项和（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）考向21数列综合运用（重点） - 2（已下线）第五篇 向量与几何 专题20 分形几何 微点1 分形几何（已下线）数列的综合应用
解题方法
6 . 已知无穷数列
与无穷数列
满足下列条件：①
；② 
.记数列的前项积为
.
（1）若
，求
；
（2）是否存在
，使得
成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若
，求
的最大值.
与无穷数列满足下列条件：①；② .记数列的前项积为 .（1）若
，求；（2）是否存在
，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；（3）若
，求的最大值.
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2021-05-05更新
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746次组卷
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5卷引用：上海市杨浦区2021届高三二模数学试题
上海市杨浦区2021届高三二模数学试题（已下线）课时22 数列、等差数列、等比数列-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）（已下线）考向16 数列求和及数列的综合应用-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）上海市奉贤区致远高级中学2022届高三下学期开学评估数学试题（已下线）考向21数列综合运用（重点） - 2
名校
7 . 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金
万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元
（1）判断
是否为等比数列？并说明理由；
（2）若企业每年年底上缴资金
，第
年年底企业的剩余资金超过
万元，求的最小值.
万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元（1）判断
是否为等比数列？并说明理由；（2）若企业每年年底上缴资金
，第年年底企业的剩余资金超过万元，求的最小值.
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2020-11-14更新
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777次组卷
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4卷引用：河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试数学试题
8 . 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2020-10-28更新
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3331次组卷
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16卷引用：湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题江苏省苏州市张家港市外国语学校2020-2021学年高三上学期期中模拟测试数学试题广东省阳江市阳春市第一中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学试题广东省深圳市第二高级中学2020-2021学年高二上学期第二学段考试数学试题江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题江苏省南通市天星湖中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题5.1 数列基础（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教B版）（已下线）考点39 数列的综合应用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）辽宁省六校2021-2022学年高三上学期期初联考数学试题（已下线）专题04 数列（数学思想与方法）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）（已下线）专题3 数列的综合问题-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】（已下线）考点15 数列综合问题-1-（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）浙江大学附属中学丁兰校区2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题11 数列前n项和的求法 微点4 裂项相消法求和（二）（已下线）数列的综合应用（已下线）5.4数列的应用（分层练习，8大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）
9 . 数列
中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排
；第二行2项，从左到右分别排
，
；第三行3项……以此类推，设数列的前项和为，则满足
的最小正整数的值为（ ）
中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）| A．22 | B．21 | C．20 | D．19 |
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2020-09-01更新
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981次组卷
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3卷引用：湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020学年高一下学期5月学习质量检测数学试题
湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020学年高一下学期5月学习质量检测数学试题福建省厦门外国语学校2021届高三数学11月阶段检测（期中）试题（已下线）专题5.4 数列的应用与数学归纳法（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教B版）
10 . 一只蚂蚁在如图所示的棱长为1米的正四面体的棱上爬行，每次当它到达四面体顶点后，会在过此顶点的三条棱中等可能的选择一条棱继续爬行（包含来时的棱），已知蚂蚁每分钟爬行1米，
时蚂蚁位于点A处.
（1）2分钟末蚂蚁位于哪点的概率最大；
（2）记第n分钟末蚂蚁位于点A，B，C，D的概率分别为
.
①求证：
；
②辰辰同学认为，一段时间后蚂蚁位于点A､B､C､D的概率应该相差无几，请你通过计算10分钟末蚂蚁位于各点的概率解释辰辰同学观点的合理性.
附：
，
，
，
.
时蚂蚁位于点A处.（1）2分钟末蚂蚁位于哪点的概率最大；
（2）记第n分钟末蚂蚁位于点A，B，C，D的概率分别为
.①求证：
；②辰辰同学认为，一段时间后蚂蚁位于点A､B､C､D的概率应该相差无几，请你通过计算10分钟末蚂蚁位于各点的概率解释辰辰同学观点的合理性.
附：
，，，.
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