1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

2 . 记函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，证明：.

3 . 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.

4 . 已知均为正实数，函数的最小值为.证明：
（1）；
（2）.

5 . 已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的短轴长为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

6 . 设函数.
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）若是（1）中的最大值，且正数，满足，证明：.

7 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥体积的最大值；

8 . 选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知，，且，求证：；
（Ⅱ）已知，，，求的最小值，并写出取最小值时，，的值.

9 . 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，证明：.

10 . 已知是正实数，且， 证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．