1 . 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，

   

(1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值；
(2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积.

2 . 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．

   

(1)求四棱台的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台.
①求削去部分与圆台的体积之比；
②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小.

3 . 已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为.
(1)求此圆锥的体积；
(2)若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.

4 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积（容积）一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程，请回答其中问题.

模型假设：①易拉罐近似看成一个圆柱体，容积一定；②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；③上盖､下底､侧壁所用金属相同； ④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(1)建立模型问题1: 填空：记圆柱容积为，高为，底面半径为， 则___________； ①记上盖､下底和侧壁的厚度分别为（底面半径都为），且侧壁展开可看成长方体（长、宽、高分别为），金属用料总量为C（接口材料忽略不计），则 ___________ ；②因为都是常数，不妨设，则由① ②可得用料总量的函数可简化为 _____________(用表示)   ③；
(2)求解模型：问题2：求解当取何值时(用表示)，取得最小值，即用料最省？（写出解答过程）检验模型：小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优；
(3)模型评价与改进：问题3：模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为_________相应改进措施为__________.
注：只需一条原因及相应改进措施即可

5 . 圆O的半径为R，从中剪去一个扇形，剩余部分制成一个圆锥，则何时这个圆锥的体积最大？

6 . 为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
(2)定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．

7 . 已知四棱锥的棱的长为，其余各条棱长均为1．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求二面角的大小．

8 . 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

   

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

10 . （1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.