1 . 《双行星》（图1）是荷兰著名版画家埃舍尔1949年的木刻作品，该作品清晰展示了其试图结合不同世界的设想，基本结构是两个相同的正四面体相互交叉，为了便于观看，埃舍尔用黄白双色进行区分.可以看到，拥有高度文明的黄色的星球正在上演着人类的戏剧，规则的建筑和寸草不生的地表，处在史前时代的白色的星球，怪石嶙峋，恐龙和原始植物相依.通过这种对比埃舍尔似乎提出了一个警告，高度文明或许会消除了一切自然的痕迹.——《在埃舍尔的时空旅行》将《双行星》抽象为图2的组合体，若两个正四面体棱长均为2，且相交处均为棱中点，求这个组合体体积___________.两个正四面体相交，公共部分形成的几何体表面积是___________.

2 . 中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为___________．

3 . 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________.

4 . 《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作.全书共分为九章，由246道数学与工程应用题汇编，其中第五章“商功”介绍了许多工程体积的计算与人工安排.如介绍了刍甍（音chumeng，底面为矩形的楔形茅草屋脊）如下图1，设刍甍的底面矩形长宽分别为b，c，上脊长为a，高为h，则该刍甍的体积为.今有一刍童（上下底面为矩形的垛体）如图2，刍童的上底矩形边长分别为，，下底矩形边长分别为，，高为h，则该刍童的体积为___________.

5 . 无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为___________.

附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为），球缺的体积公式为.

6 . 在棱长为的正方体中，分别为的中点，为正方体棱上一动点.下列说法中所有正确的序号是___________
①在上运动时，存在某个位置，使得与所成角为；
②在上运动时，与所成角的最大正弦值为；
③在上运动且时，过三点的平面截正方体所得多边形的周长为；
④在上运动时（不与重合），若点在同一球面上，则该球表面积最大值为.

7 . 如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则下列命题中正确的是___________.

（1）存在使得；
（2）当时，异面直线和所成角的余弦值为；
（3）当时，三棱锥的外接球体积为；
（4）过P且与直线和直线所成角都是60°的直线有三条.

8 . 中国四大名著《水浒传》中有这样几句诗：“赤日炎炎似火烧，野田禾稻半枯焦；农夫心内如汤煮，公子王孙把扇摇”.在如此炎热的夏天，很多饮料公司打出各种吸引眼球的冰淇淋广告标语，某餐饮公司冰淇淋广告标语为“眼里只有你，甜在我心里”.在这个公司的众多冰淇淋中，有一种冰淇淋可以近似认为是由1个圆锥和1个半球体组合构成，并且圆锥底面圆的半径与半球体半径相等，其中圆锥的母线长是其底面圆半径的2倍.如图所示，若该冰淇淋半球体的表面积为，则该冰淇淋的体积是__________.

9 . 已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则______；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.

10 . 四面体中，，平面，，D是平面上异于的动点，且，设三棱锥的外接球的体积为V，与所成角为，与平面所成角为，在以下结论中，①V是定值；②V是变化的但有最大值；③是定值；④是定值；正确的结论序号为______．