1 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

2 . 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（       ）

A．点的运动轨迹为一条线段

B．直线与所成角可以为

C．三棱锥的体积是定值

D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为

3 . 如图，，O分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形ABCD，P，Q分别是其上、下底面圆周上的动点，已知P，Q位于轴截面ABCD的异侧，且．

(1)当A，P，，Q四点共面时，求；
(2)当时，求二面角的正弦值．

4 . 如图，已知圆柱的轴截面为正方形，，为圆弧上的两个三等分点，，为母线，，分别为线段，上的动点（与端点不重合），经过，，的平面与线段交于点.

   

(1)证明：；
(2)当时，求平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.

5 . 已知正方体的各顶点均在表面积为的球面上，为该球面上一动点，则（       ）

A．存在无数个点，使得平面

B．当平面平面时，点的轨迹长度为

C．当平面时，点的轨迹长度为

D．存在无数个点，使得平面平面

6 . 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.

   

(1)试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）
(2)已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.

7 . 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．
   
(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；
(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标．

8 . 如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．

(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．

9 . 已知正方体的外接球表面积为，分别在线段，，上，且四点共面，则（       ）．

A．

B．若四边形为菱形，则其面积的最大值为

C．四边形在平面与平面内的正投影面积之和的最大值为6

D．四边形在平面与平面内的正投影面积之积的最大值为4

10 . 若两个平行平面与同一平面相交，则所得两条交线（       ）

A．相交

B．平行

C．异面

D．垂直