1 . 如图①，，将图①中左右两个三角形沿着翻折成为图②所示的三棱锥，棱上的点满足.

(1)过点作截面平面，写出作法并证明；
(2)当二面角的大小为时，求直线与（1）中平面所成角的正切值.

2 . 如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点、是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足.

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.

3 . 如图，已知平行四边形，，，，E，F分别为线段BC，AD上的点，且，，现将沿AE翻折至.

(1)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)当三棱锥的体积达到最大时，求直线与平面所成角的余弦值.

4 . 如图，在圆柱中，底面半径为，为圆柱的母线.

(1)若，为的中点，求直线与底面的夹角大小；
(2)若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

5 . 在正三棱台中，是边长为的等边三角形，且.已知，，，分别是线段，的中点，当直线上一动点在射线上时，，.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)连接，，已知点在平面投影是，平面是一个分别以，作为，轴的复平面，.当时，请直接写出的虚部（不要求写出过程）.

6 . 某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．

(1)证明底面；
(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．