1 . 已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．

2 . 函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段.已知数列由定义.
(1)用表示；
(2)若，记，求证：.

3 . 已知曲线：经过点，．
(1)求曲线的方程；
(2)已知定点，过的直线与曲线交于A，B两点，过的直线与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M三点共线．

4 . 若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点，且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”．
(1)，均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
(2)，，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围．

5 . 作斜率为的直线l与抛物线交于两点（如图所示），点在抛物线C上且在直线l上方．

（Ⅰ）求C的方程并证明．直线和的倾斜角互补．
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求的面积的最大值.