1 . 在直角坐标系中，动点到直线的距离等于点到点的距离，动点在圆上，且的最小值为，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知圆的切线与曲线交于两点，求的最小值．

3 . 已知椭圆的离心率，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，直线分别与椭圆交于点异于，垂足为，求的最小值．

4 . 已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为．
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值．

5 . 已知圆经过点，，，点是圆上任意一点，点关于直线的对称点为.
(1)求圆的一般方程；
(2)设点，在直线上是否存在一点（异于点），使得（常数）.若存在，请求出的坐标及常数的值；若不存在，请说明理由.

6 . 在长方体中，，，M为棱的中点，动点P在面上运动，且满足．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求点P在长方形内的轨迹长度；
(3)求线段长度的最大值．

7 . 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
(3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.

8 . 已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，为椭圆的下顶点，与圆上任意点距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交椭圆于，两点和，两点，点到直线和的距离相等，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

9 . 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3.
(1)求；
(2)若点在圆上，，是抛物线的两条切线，是切点，求三角形面积的最大值.

10 . 为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站和（点在点､点之间），它们到平台的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）.

(1)以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有巡航观察点可以在过点垂直于的直线上运动.
（i）若为的中点，求的最小值；
（ii）过作直线与曲线相切于点.证明：直线过定点.