1 . 已知抛物线，点为抛物线上一点，过点作轴，垂足为，线段的中点为（当与重合时，认为也与重合），设动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设为曲线上不同的三点，且的重心为，求面积的取值范围.

2 . 圆：与轴的负半轴和正半轴分别交于两点，是圆与轴垂直非直径的弦，直线与直线交于点，记动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)在平面直角坐标系中，倾斜角确定的直线称为定向直线．是否存在不过点的定向直线，当直线与轨迹交于时，；若存在，求直线的一个方向向量；若不存在，说明理由．

3 . 已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．
(1)当时，求PQ的中点M的轨迹方程；
(2)当时，椭圆与动直线PQ恒相切，求椭圆C的标准方程．

4 . 已知分别为双曲线的左、右顶点，点是直线上的动点，延长分别与交于点．
(1)若点的纵坐标为，求的坐标；
(2)若在直线上且满足，求的轨迹方程．

5 . 已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.

6 . 已知为圆：上任一点，，，，且满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线：与轨迹相交于，两点，与轴交于点，过的中点且斜率为的直线与轴交于点，记，若，求的取值范围.

7 . 如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．

8 . 已知动抛物线的准线为y轴，且经过点，求抛物线焦点的轨迹方程.

9 . 平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程.

10 . 如图，矩形，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.
   
(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程；
(2)是上一点，，过点的直线交曲线于、两点，，求实数的取值范围.