1 . 如图，点是椭圆：()的一个顶点，的长轴是圆：的直径.，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点.

（1）求椭圆的方程：
（2）当的面积取得最大值时，求直线的方程.

2 . 已知椭圆经过点，椭圆的左右顶点，上顶点，满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，若的中点为，求三角形的面积．

3 . 下列命题中，
①四边相等的四边形一定是菱形；
②“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件；
③设是以、为焦点的椭圆一点，且，若的面积为9，则椭圆的短轴长为6；
④正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为定值．
其中真命题的是______．（将正确命题的序号填上）

4 . 已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，长轴的长度为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过点作两条直线，，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，的中点为，的中点为；若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点．若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

6 . 已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
（1）求的方程．
（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．

8 . 椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线的斜率等于，求出的值；
（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围.

9 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长等于焦距，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，若以为直径的圆与轴交于点，且，求直线的方程．

10 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是椭圆C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程
（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线与的斜率之和为-1，证明：l过定点.