1 . 已知椭圆的离心率为是椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.
证明：直线的斜率成等差数列.

2 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.

3 . 已知椭圆的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆在轴右侧交于两点，且为正三角形．
(1)求椭圆方程；
(2)过圆外一点, 作倾斜角为的直线交椭圆于两点，若点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围，

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.
（1）求椭圆的方程和点的坐标；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.

5 . 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.

7 . 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.

8 . 已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．

10 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.