1 . 已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.
(1)设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；
(2)设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，，记的面积为，求证：.

2 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不过原点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.

3 . 平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点．
①求证：；
②求面积的最大值．

4 . 椭圆的左右焦点分别为和是椭圆上任一点，若的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)直线交椭圆于两点，若为坐标原点），求椭圆的方程.

5 . 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，，三点共线.

6 . 已知椭圆的离心率，且经过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围．

7 . 已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，直线与椭圆交与两点，求四边形面积的最大值.

8 . 长轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点，在轴上，抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点， 且，的面积为3.

（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于，，若，求直线的斜率.

9 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作椭圆的两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

10 . 已知椭圆经过点，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于、两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．