1 . 已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于两点，若线段中点在直线上，求的面积的最大值．

2 . 已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

3 . 已知点与都在椭圆：上，直线交轴于点．
(1)求椭圆的方程，并求点的坐标；
(2)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，焦距为，点是椭圆上一点，满足，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.

5 . 已知，为椭圆的左、右焦点，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，问△的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知曲线的方程是，且曲线过点两点，为坐标原点.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，且，求证：直线恒与一个定圆相切.

7 . 设、是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
(3)试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．

9 . 椭圆，其中，焦距为2，过点的直线与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)求实数的值．

10 . 已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点，斜率为的动直线与椭圆相交于两点，请问轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．