1 . 已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，椭圆的左焦点为，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）若直线与圆相切，证明：为定值

3 . 在平面直角坐标系中，设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

4 . 已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率存在的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，，且与圆心为的定圆相切，求圆的方程．

5 . 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点.
(1)求抛物线的标准方程以及的值.
(2)记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得，且都成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

7 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.
(1)若点在椭圆上，求的最大值；
(2)若为坐标原点），求直线的斜率.

8 . 已知、是双曲线（，）的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且、均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则__________．

9 . 已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.

10 . 椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.
(1)求椭圆的标准方程以及点的坐标；
(2)过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.