1 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为______；若动点Q在圆上运动，则的最大值为______.

3 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．

5 . 已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上.
(1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标；
(2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值;
(3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围.

6 . 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
(1)求M的轨迹；
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明：是直角三角形；
②求面积的最大值.

7 . 中，点，，直线CA和CB的斜率满足：．
(1)求点C的轨迹Ω的方程；
(2)已知原点O，过的直线，分别交于M，N两点和P，Q两点，M在x轴的上方，若M、O、P三点共线，证明：直线过定点，并求定点坐标．

9 . P为圆上一动点，点B的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q．

(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为和，M、N为曲线C上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线与直线相交于点T，直线与直线相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得的面积为定值，并求该定值．

10 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，直线与曲线交于两点，若，试探究直线是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．