1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．
(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．

2 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，
（i）求面积的最大值；
（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 .
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值.

5 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程.

6 . 设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.
(1)求;
(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k.

9 . 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证：为定值；
（ii）设面积为S，求S的取值范围．

10 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)写出曲线的两条性质；
(3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形．