1 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.

2 . 已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若OA，OB的斜率分别为，，，求证：为定值；
（3）已知点，当的面积S最大时，求的最大值.

3 . 已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值；
（3）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

4 . 椭圆过点，其上､下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.

5 . 已知椭圆：过点且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标.

6 . 已知椭圆过点，.
（1）求的方程；
（2）经过，且斜率为的直线交椭圆于､两点(均异于点)，证明：直线与的斜率之和为定值.

7 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．

8 . 已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点.
（1）求动点的轨迹方程;
（2）若过点的直线斜率存在，且直线与动点的轨迹相交于，两点.证明：直线与的斜率之积为定值.

9 . 设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．

10 . 已知椭圆：的左顶点、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线，斜率分别为，，证明：为定值.