1 . 已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．

2 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：．

3 . 设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．

4 . 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.

5 . 已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点.
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值.

6 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l，交椭圆C于A，B两点，求证：为定值．

7 . 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，如果过点的直线与椭圆交于，两点（，点与点不重合），求证：为直角三角形.

9 . 已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，.
(1)求椭圆的方程.
(2)若，求出的值.
(3)试证明：直线过定点.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标．