1 . 已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
(1)求C的标准方程；
(2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．

2 . 设椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线交椭圆于两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某条定直线上.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于轴的对称点为点E，证明：直线与轴交于定点.

4 . 已知分别是椭圆   的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.
(1)求C的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值.

5 . 已知椭圆：（）的离心率，且短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆的左焦点，斜率存在的直线与椭圆交于，两点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等．
①试证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
②求面积的最大值．

6 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．

7 . 已知椭圆，，分别为的左､右顶点，为的上顶点，，且的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，点.若直线的斜率之和为0.求证：直线经过定点.

8 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点．记直线和的斜率分别为，，求证：为定值．

9 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

10 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.