1 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
(1)求椭圆的方程及直线的斜率；
(2)当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．

2 . 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为，
(1)求椭圆C的方程．
(2)若椭圆C下顶点是B，M是C上一点（不与A，B重合），直线AM与直线交于点P，直线BP交椭圆C于点N．求证：直线MN过定点．

4 . 已知椭圆C：（）的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点，点在椭圆C上，轴，垂足为M，直线交轴于点N，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆C的位置关系，并给出证明．

5 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．

6 . 已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．

7 . 已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点.

8 . 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

9 . 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.
(1)当面积最大时，求的方程；
(2)求证：.

10 . 已知椭圆．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．