解题方法
1 . “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥
的轴截面
是等边三角形，椭圆
所在平面为
，则椭圆的离心率为______________ ．
的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为
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解题方法
2 . 已知椭圆
：
（
）的离心率为
，其左、右焦点为
、
，过作不与
轴重合的直线
交椭圆于
、
两点，
的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设线段
的垂直平分线
交轴于点
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
：（）的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8．(1)求椭圆
的方程；(2)设线段
的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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3 . 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形
内接于椭圆
，其中点
，
分别在第三、四象限，边
，
与轴的交点为
，
.
，且，为椭圆
的焦点，求椭圆的离心率；
(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点
也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：
是定值，并求出该定值；
(3)若是边长为1的正方形，边
，
与
轴的交点为
，
，设
（
，
，…，
）是正方形内部的100个点，记
，其中
，，
，
.证明：
，
，
，
中至少有两个小于81.
内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；(3)若
是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
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4 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，短轴长为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，，与不重合，直线
与
的斜率之积为
. 证明：直线过定点.
的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，短轴长为.(1)求椭圆
的标准方程；(2)不垂直于坐标轴的直线
交椭圆于，两点，，与不重合，直线与的斜率之积为. 证明：直线过定点.
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5 . 已知椭圆方程为
，离心率为
且过点
．
(1)求椭圆方程；
(2)过左焦点的直线交椭圆于
两点，是否存在实数，使
恒成立？若存在，求此时
的最小值；若不存在，请说明理由．
，离心率为且过点．(1)求椭圆方程；
(2)过左焦点
的直线交椭圆于两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由．
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解题方法
6 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点
为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点
，
. 如图1所示建立平面直角坐标系
，曲线所对应的方程为
，
，曲线所对应的方程为
，
.
的值及曲线所在椭圆的离心率
的值；
(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点且法向量为
的直线与曲线交于
两点（如图2所示），满足
，求实数
的值；
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，.
的值及曲线所在椭圆的离心率的值；(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值；(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段
和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.
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解题方法
7 . 已知椭圆：
的离心率为
，斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，
是关于轴的对称点.当与原点
重合时，
面积为
.
(1)求的方程；
(2)当异于点时，记直线
与轴交于点
，求
周长的最小值.
：的离心率为，斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点.当与原点重合时，面积为.(1)求
的方程；(2)当
异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值.
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8 . 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到
距离的最大值为3．
(1)求
的取值范围；
(2)当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为
的直线与交于
两点，
分别与椭圆的另一个交点为
．
①是否存在实数，使得
的斜率
等于
？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
②记
与交于点，求线段
长度的取值范围．
短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3．(1)求
的取值范围；(2)当椭圆
的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为．①是否存在实数
，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；②记
与交于点，求线段长度的取值范围．
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7日内更新
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66次组卷
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2卷引用：江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试题
解题方法
9 . 已知椭圆
的离心率为，且
过点
.
(1)求的方程；
(2)若AB分别为的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点.
①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证
为定值.
的离心率为，且过点.(1)求
的方程；(2)若AB分别为
的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点.①若E为CD的中点求点E的轨迹方程；
②若AD与直线BC交于点Q，求证
为定值.
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解题方法
10 . 如图
，已知椭圆的方程为
和椭圆
，其中
分别是椭圆
的左右顶点．恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；
(2)如图，若椭圆的方程为
.是椭圆上一点，射线
分别交椭圆于，连接
（
均在轴上方）.求证：
斜率之积
为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若
，且两条平行线的斜率为
，求正数
的值．
，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点．
恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程；(2)如图
，若椭圆的方程为.是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若
，且两条平行线的斜率为，求正数的值．
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