1 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：；
(3)若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率.

2 . 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)设顶点到直线MN的最大距离为d，证明.

3 . 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

   

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
(2)求证：直线过定点.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________.

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是______．

6 . 设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为______.

8 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.
①求四边形的面积的最大值；
②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.

9 . 已知椭圆：（）的离心率为，又过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)，分别为的左，右焦点，过的直线交于，两点，求的内切圆面积的取值范围．

10 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.