1 . 已知椭圆：过点和点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

2 . 已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.

3 . 对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．

4 . 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值．

5 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点.

6 . 已知椭圆：过点，离心率是．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过点且交椭圆于A、B两点，若(其中为坐标原点)，求直线的方程．

7 . 已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

8 . 已知长方形，，，以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以，为焦点，且过，两点的椭圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过点作直线与椭圆交于不同的两点、，设，点坐标为，若，求的取值范围.

9 . 已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求·的取值范围.

10 . 已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知点，是椭圆上的两点.
（ⅰ）若，且为等边三角形，求的面积；
（ⅱ）若，证明：不可能为等边三角形.