1 . 已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
(1)求等轴双曲线的标准方程；
(2)证明：直线过定点.

2 . 已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．
(1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；
(2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.

4 . 过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为_______.

5 . 单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线与直线交于，（，）两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.

7 . 在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1m，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4cm．据此推算，到2050年底该地区将有水面面积．

(1)建立适当的坐标系，求此双曲线的方程；
(2)请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？
（提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为）

8 . 已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点，则（       ）

A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

B．双曲线C的虚轴长为2

C．双曲线C的两条渐近线互相垂直

D．为双曲线C的两个焦点，过的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则的周长为8

9 . 已知F₁（－，0），F₂（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．

10 . 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（       ）

（参考数据：，，）

A．

B．

C．

D．