1 . 给定椭圆.过坐标原点的直线与交于､两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
（1）求直线与直线斜率的乘积；
（2）求证：是直角三角形；
（3）求面积的最大值.

2 . 已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.

（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；
（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；
（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.

3 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的右顶点和下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是椭圆内一点，直线与的斜率之积为，直线分别交椭圆于两点，记，的面积分别为，.
①若两点关于轴对称，求直线的斜率；
②证明：.

4 . 已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上.
（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积；
（2）若，求证：直线过一定点；
（3）若，的外接圆半径为，求的值.

5 . 如图，以椭圆（）的右焦点为圆心，为半径作圆（其中为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点作此圆的切线，切点为.

（1）若，为椭圆的右顶点，求切线长；
（2）设圆与轴的右交点为，过点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，若恒成立，且.求：
（ⅰ）的取值范围；
（ⅱ）直线被圆所截得弦长的最大值.

6 . 已知两点，动点在轴上的射影是，且，
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线的两个斜率存在，分别记为，若，求点的坐标；
（3）若经过点的直线与动点的轨迹有两个交点为、，当时，求直线的方程.

7 . 已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．

8 . 已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

9 . 曲线的右焦点分别为，短袖长为，点在曲线上，直线上，且.

（1）求曲线的标准方程；
（2）试通过计算判断直线与曲线公共点的个数.
（3）若点在都在以线段为直径的圆上，且，试求的取值范围.

10 . 设两曲线与的交点为A、B，O是坐标原点，若是锐角三角形，则实数a的取值范围是_______.