1 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．

2 . 已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和.
(1)求证：；
(2)若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？

3 . 已知，分别是椭圆的左顶点与左焦点，，是上关于原点对称的两点，，．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线交于，两点，，是直线上关于轴对称的两点，证明：直线，的交点在一条定直线上．

4 . 已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为．
①证明四边形是菱形；
②若，求椭圆的方程．

6 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

7 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

8 . 已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．

10 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，且，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线与的斜率满足，证明：直线恒过定点．