1 . 已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过点作斜率为的直线，与椭圆交于两点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线，与椭圆交于点（点异于点），是上一点，过点作，与轴交于点，记为坐标原点，若．且，求直线的斜率的取值范围．

3 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的上顶点，且，求的值.

4 . 已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的的标准方程；
(2)若直线的斜率分别为，且，求的取值范围．

5 . 已知椭圆的离心率为，其上顶点到右顶点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求实数的取值范围.

6 . 已知双曲线的右顶点为A，过点且斜率为的直线与的左、右支分别交于点，.
(1)若，求；
(2)若直线，与轴分别交于点，，，求.

7 . 已知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．

9 . 已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程.

10 . 已知椭圆过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值．