1 . 已知等轴双曲线的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，
（1）求等轴双曲线的方程
（2）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于两点，求的值

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，直线与椭圆相交于两个不同点
（1）求实数的取值范围
（2）若，求实数的取值范围

3 . 已知复数（，是虚数单位），且
（1）求复数对应点的轨迹的方程；
（2）若过点的直线交曲线于两点，且线段的中点到轴的距离为，求直线的方程.

4 . 已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.

5 . 已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，

6 . 在平面直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，斜率为的直线过点，且与轨迹交于、两点.
（1）写出轨迹的方程；
（2）如果，求的值；
（3）是否存在直线，使得在直线上存在点，满足为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

7 . 设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

8 . 已知椭圆，不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB分别为，k，，且，k，恰好构成等比数列，记的面积为S．

（1）试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）求S的最大值．

9 . 如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中直线的方程为，直线的方程为.

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

10 . 已知曲线.
（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；
（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；
（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.