1 . 已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，、分别为椭圆的左、右两个焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的切线（与椭圆有唯一交点）的方程为，切线与直线和直线分别交于点、，求证：为定值，并求此定值；
（3）设矩形的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在直线与椭圆有唯一交点），求矩形的面积的取值范围.

2 . 已知直线l：和椭圆：相交于点，

（1）当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程
（2）点在上，若，求面积的最大值：
（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：为直角三角形.

3 . 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；
（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.

4 . 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点满足．
①证明：为定值；
②设Q是直线上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求的最小值．

5 . 给定椭圆.过坐标原点的直线与交于､两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
（1）求直线与直线斜率的乘积；
（2）求证：是直角三角形；
（3）求面积的最大值.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且 ，探究：直线是否过定点，并说明理由.

7 . 设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆.
（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；
（2）若圆经过原点，求直线的方程；
（3）证明：圆内含或内切于圆.

8 . 已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.

（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；
（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；
（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.

9 . 已知椭圆两焦点，并经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上关于轴对称的不同两点，为轴上两点，且，证明：直线的交点仍在椭圆上；
（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.

10 . 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），与轴交于点；
（1）当且时，求点的坐标；
（2）当时，设，求证：为定值，并求出该值.