1 . 已知两点、，动点在轴上的射影是，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线、的两个斜率存在，分别记为、，若，求点的坐标；
（3）若经过点的直线与动点的轨迹有两个交点、，当时，求直线的方程.

2 . 已知两点、，动点满足，记的轨迹为曲线，直线（）交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；
（2）若，求△的面积；
（3）证明：△为直角三角形.

3 . 如图，已知椭圆，直线，直线与椭圆交于不同的两点，点和点关于轴对称，直线与轴交于点．

（1）若点是椭圆的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求证：为定值．

4 . 已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）若垂直于轴，求直线的斜率；
（Ⅱ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

5 . 已知动点满足，记M的轨迹为曲线C，直线l：（）交曲线C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连接QE并延长交曲线C于点G.
（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线；
（2）若，求的面积.
（3）求面积的最大值.

6 . 设椭圆的左顶点为、中心为，若椭圆过点，且．

（1）求椭圆的方程；
（2）若的顶点也在椭圆上，试求面积的最大值；
（3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点．

7 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的右顶点和下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是椭圆内一点，直线与的斜率之积为，直线分别交椭圆于两点，记，的面积分别为，.
①若两点关于轴对称，求直线的斜率；
②证明：.

8 . 已知、为椭圆的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程．

9 . 已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．
（1）求动点所在曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标．

10 . 已知：椭圆的焦点在轴上，左焦点与短轴两顶点围成面积为的等腰直角三角形，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.