1 . 设直线过双曲线的中心，与双曲线交于，两点，是双曲线上的任意一点，求证：直线，斜率的乘积为定值.

2 . 过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为时，求直线l的方程；
（3）求证：是一个定值．

3 . 已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.

5 . 已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，虚轴长为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C相交于两点，（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 已知双曲线的两条渐近线分别为，.

   

(1)求双曲线的离心率；
(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 如图，已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

8 . 已知双曲线，为上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.