1 . 已知双曲线经过点，且与双曲线有相同渐近线．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点且于，问是否存在定点，使得为定值？若存在，写出点的坐标，并求出的值；若否，请说明理由．

2 . 已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

3 . 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

4 . 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.

5 . 已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

7 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且.
（1）求C的方程；
（2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值.

8 . 如图，已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．