1 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

2 . 若双曲线的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合），
（i）求直线的倾斜角的取值范围；
（ii）在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

3 . 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
(3)是的右焦点，设点位于第一象限，的平分线交于点，求证：.

4 . 已知双曲线的左顶点为，焦点到渐近线距离为．

(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记．求证：为定值．

5 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

7 . 已知双曲线C : 的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆 O :上，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O为坐标原点）的面积．

8 . 已知双曲线:的左、右焦点分别为，，离心率为，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.
(1)求的值；
(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+=，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.

9 . 已知双曲线经过点，且离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.

10 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．