1 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，求直线的斜率．

2 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值．

3 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

4 . 已知双曲线：经过点，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点，且．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于，两点，直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值．

5 . 在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．

6 . 设双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点.

7 . 已知点是双曲线上任意一点.
(1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)已知点，求的最小值.

8 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.

9 . 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
(1)若直线AB的斜率为，求．
(2)试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 已知双曲线过点和点．

(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．