1 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

2 . 若双曲线的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合），
（i）求直线的倾斜角的取值范围；
（ii）在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

3 . 已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点为C上的一点，且，的面积为，双曲线的离心率为.
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于和，分别是的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知圆，圆，动圆与这两个圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程.
(2)若动圆圆心的轨迹为曲线，，斜率不为0的直线与曲线交于不同于的，两点，，垂足为点，若以为直径的圆经过点，试问是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知点在双曲线上.
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值：
(2)已知点，过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足
（i）求斜率的取值范围：
（ii）证明：点恒在一条定直线上.

6 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．

(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
（I）若，求直线的斜率；
（II）求证：是定值．

9 . 已知曲线C上的任意一点到直线的距离是它到点的距离的倍.
(1)求曲线C的方程;
(2)设，，过点的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为，，求直线l的斜率k的取值范围以及的值.

10 . 已知双曲线：经过点，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点，且．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于，两点，直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值．