解题方法
1 . 已知双曲线的离心率为,半焦距为,为的左顶点,直线.
(1)求的方程.
(2)若l过定点,且交于,两点(异于点),证明:直线与的斜率之积为定值.
(3)若与有唯一的公共点,过点且与垂直的直线分别与轴,轴相交于,两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
(1)求的方程.
(2)若l过定点,且交于,两点(异于点),证明:直线与的斜率之积为定值.
(3)若与有唯一的公共点,过点且与垂直的直线分别与轴,轴相交于,两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
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2 . 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:(,)的左、右焦点分别为、,是双曲线C上一点,且.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点,求直线l的方程;
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点,点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、,求证:为定值.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点,求直线l的方程;
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点,点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、,求证:为定值.
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3 . 如图:双曲线的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时,求直线与的距离;
(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
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4 . 已知双曲线的实轴长为2,离心率为,圆的方程为,过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于,两点.(1)求双曲线的方程;
(2)求证:;
(3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为,,且,求实数的范围.
(2)求证:;
(3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为,,且,求实数的范围.
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5 . 已知双曲线的左、右顶点分别为,右焦点为,一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
(1)求的方程;
(2)过的直线交于两点(在轴上方),直线分别交轴于点,判断(为坐标原点)是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
(1)求的方程;
(2)过的直线交于两点(在轴上方),直线分别交轴于点,判断(为坐标原点)是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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6 . 已知双曲线(,)的离心率为,且经过点.
(1)求的方程;
(2)过原点的直线与交于,两点(异于点),记直线和直线的斜率分别为,,证明:的值为定值;
(3)过双曲线上不同的两点,分别作双曲线的切线,若两条切线相交于点,且,求的最大值.
(1)求的方程;
(2)过原点的直线与交于,两点(异于点),记直线和直线的斜率分别为,,证明:的值为定值;
(3)过双曲线上不同的两点,分别作双曲线的切线,若两条切线相交于点,且,求的最大值.
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7 . 已知双曲线的右焦点为,双曲线与抛物线交于点.
(1)求的方程;
(2)作直线与的两支分别交于点,使得,求证:直线过定点.
(1)求的方程;
(2)作直线与的两支分别交于点,使得,求证:直线过定点.
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8 . 已知双曲线:()与双曲线有相同的渐近线.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知点,点,在双曲线的左支上,满足,证明:直线过定点;
(3)在(2)的条件下,求点到直线距离的最大值.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知点,点,在双曲线的左支上,满足,证明:直线过定点;
(3)在(2)的条件下,求点到直线距离的最大值.
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解题方法
9 . 如图,已知双曲线:,点B是C的左顶点,点F是C的右焦点,点A是C上的一个动点(在第一象限内),是C的右准线,直线与的交点为P.过点A作直线的平行线,与l的交点为Q,与x轴的交点为S.(1)证明:当点A在C上运动时,的大小为定值.
(2)探讨与的大小关系.
(2)探讨与的大小关系.
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10 . 双曲线的一条渐近线方程为,焦点到其渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点,又过原点作直线,使,且与双曲线分别交于左右两支上的点.问是否存在定值,使得?若存在,请求的值;若不存在,请说明理由.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点,又过原点作直线,使,且与双曲线分别交于左右两支上的点.问是否存在定值,使得?若存在,请求的值;若不存在,请说明理由.
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