1 . 在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点位于抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与其对称轴的交点为，过点的直线交抛物线于点，，直线交抛物线于另一点，求直线所过的定点.

2 . 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.

3 . 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.

4 . 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明：直线过轴上一定点，并求出点的坐标.

5 . 已知抛物线，点M(m, 0)在x轴的正半轴上，过M点的直线与抛物线 C相交于A，B两点，O为坐标原点.

(1) 若m=l，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2) 是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动，恒为定值？

6 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

(1)求的值；
(2)设是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

7 . 已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标；
(2)记直线的斜率分别为，求的值.

8 . 已知抛物线：，定点（常数）的直线与曲线相交于,两点.
(1)若点的坐标为，求证：
(2)若，以为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由.

9 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

10 . 如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．