1 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．

2 . 已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.
（Ⅰ）当时，求的面积
（Ⅱ） 当时，证明：.

3 . 已知椭圆的左．右焦点为，离心率为，直线与轴、轴分别交于点是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设.
（1）证明：；
（2）确定的值，使得是等腰三角形.

4 . 已知为椭圆上的一个动点，弦，分别过左右焦点，，且当线段的中点在轴上时，．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设，，试判断是否为定值?若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．

5 . 设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；
（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.

7 . 设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点．
（Ⅰ）若直线过椭圆的右焦点，且倾斜角为，求证：成等差数列；
（Ⅱ）若两点使得直线的斜率均存在，且成等比数列，求直线的斜率．

8 . 设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x²＝4y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

9 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
(1)求的取值范围；，
(2)若直线不经过点，求证：直线的斜率互为相反数.

10 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
（3）若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值