1 . 已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交直线于点．

(1)证明：三点共线；
(2)求的最大值．

2 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为，，四边形的面积是四边形的面积的2倍.

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线的斜率为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
(1)求的最小值；
(2)若，求证：直线过定点.

4 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.
（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；
（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.

5 . 已知椭圆，点
（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.

6 . 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

7 . 已知椭圆：的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．

8 . 已知两点，动点在轴上的投影是，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.

9 . 设直线：（）与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．
(1)证明：；
(2)若，求的面积取得最大值时的椭圆方程．

10 . 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．
　
（1）求的面积的最小值；
（2）证明：，，三点共线.