1 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，C上的动点Q到的最大距离为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，若MN的中点为P，求证：.

2 . 已知椭圆：，过椭圆上一点作椭圆的切线，为坐标原点．
（1）当直线与坐标轴不垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
（2）设直线与椭圆：相交于，两点，求的取值范围．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．

4 . 已知椭圆：的上顶点与左、右焦点，构成一个面积为1的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，求证：点，到直线的距离之积为定值.

5 . 已知椭圆的长轴长为4，且经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆交于，两点（异于点，过点作的角平分线交椭圆于另一点．证明：直线与坐标轴平行．

6 . 已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方．
（1）若以为直径的圆恰好经过椭圆右焦点，求此时直线的方程；
（2）求证：的内切圆的圆心在定直线上．

7 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），且直线，，的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值．

8 . 已知椭圆的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点.
（1）若l过点F，点M，N到直线y＝2的距离分别为d₁，d₂，且，求l的方程；
（2）若点M的坐标为（0，1），直线m过点M交C于另一点N′，当直线l与m的斜率之和为2时，证明：直线NN′过定点.

9 . 已知椭圆，，分别是的上顶点和下顶点.
（1）若，是上位于轴两侧的两点，求证：四边形不可能是矩形；
（2）若是的左顶点，是上一点，线段交轴于点，线段交轴于点，，求.

10 . 已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．