1 . 若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.

2 . 椭圆C: 的离心率是，且点A(2，1)在椭圆C上，O是坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过原点，且l⊥OA，若l与椭圆C交于B， D两点，求弦BD的长度.

3 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线与直线的直角坐标方程；
（2）求直线，被曲线截得的弦长．

5 . 已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.

6 . 已知，是椭圆：上的两点.
（1）若直线的斜率为1，求的最大值；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.

7 . 荷兰数学家舒腾(，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆和的一端各用钉子固定在点和上(但分别可以绕钉子转动)，，另一端用铰链与杆连接，，和的交点为，转动整个工具，交点形成的轨迹为椭圆.以线段中点为原点，所在的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线交椭圆于不同的两点，设点为椭圆的右顶点，当的面积为时，求直线的方程.

8 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆交于两点，求的取值范围.

9 . 已知，椭圆的左、右焦点，点P是C的上顶点，且直线的斜率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，．若与C交于A，B两点，与C交于D，E两点，求 的最大值．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.