1 . 已知椭圆的离心率为且过点
(1)求的方程；
(2)若点在上，在下面两个问题中选择一个，并作答．
①若证明直线经过定点．
②若直线的倾斜角互补，证明直线的斜率为定值．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，Q为E短轴的一个端点，若是等边三角形，点在椭圆E上，过点作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：直线MN过定点；
(3)求面积的最大值．

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 已知椭圆：（）的左右顶点，的坐标分别为，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，设点关于轴的对称点为．
①求证直线过定点；
②求面积的最大值．

5 . 已知椭圆的焦距为6，圆9与椭圆C有且仅有两个公共点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动直线过曲线的左焦点F，且与椭圆分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆E：的左顶点为A，设直线l交椭圆E于M、N两点，且以为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并且求出此定点的坐标.

7 . 已知椭圆E：过点，且焦距为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN必过定点；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.

8 . 已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点.
(1)求的值；
(2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点.

9 . 已知， ，动点Z满足.
(1)求动点Z的轨迹曲线的标准方程；
(2)四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是，且.
（i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；
（ii）证明：.

10 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若，求点的坐标.
(3)若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.