1 . 如图，已知动圆过点，且与圆内切于点，记动圆圆心的轨迹为.

(1)求的方程；
(2)过点的直线交于、两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2 . 已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为.
(1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？
(2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为.
①求证：为定值；
②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由.

3 . 已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若的最大值是5，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交轴于点，且，，试分析是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由．

4 . 一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（       ）

A．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为

B．若是“黄金椭圆”，则

C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，，则

D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则

5 . 如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值；
(3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值.

6 . 已知椭圆C：的右焦点为，点Q为椭圆C上任意一点，且的最小值为．
(1)求椭圆的C标准方程；
(2)设椭圆：，过点Q作椭圆C的切线交椭圆于M，N两点，求证：（O为原点）的面积为定值，并求出此定值．
（注：在椭圆C：上一点的切线方程为）

7 . 如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.

8 . 已知椭圆.
(1)若直线与椭圆相交于两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程；
(2)已知分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积.

9 . 阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）.试结合，上述事实现象完成下列问题：

(1)有一椭圆型台球桌，长轴长为，短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值；
(2)过点的直线（直线斜率不为）与焦点在轴，且长轴长为，短轴长为的椭圆交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在，请说明理由；
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向（2）中的椭圆引切线，切点分别为，.求证:直线恒过定点.