1 . 已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.

2 . 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，

(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．

3 . 已知与两边上中线长的差的绝对值为．
(1)求三角形重心的轨迹方程；
(2)若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．

4 . 设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（       ）

A．若点，则最小值为7

B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则

C．若点，在双曲线的上支，则最小值为

D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条

5 . 已知曲线E上任意一点Q到定点的距离与Q到定直线的距离之比为．
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)斜率为的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM交曲线E于点N，交直线于点D，且满足（O为原点）．求证：直线l过定点．

6 . 已知曲线，焦点，，，，是左支上任意一点（异于点)，且直线与的斜率之积为.

(1)求曲线的方程；
(2)直线为过点的切线，直线与直线关于直线对称，直线与轴的交点，过点作直线的平行线与曲线交于，两点，求面积的取值范围.

7 . 已知点是双曲线与椭圆的公共点，直线与双曲线交于不同的两点，，设直线与的倾斜角分别为，，且满足.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(2)记（1）中直线恒过定点为，若直线与椭圆交于不同两点，，求的取值范围.

8 . 设直线x=m（m>0）与双曲线C：的两条渐近线分别交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为.
(1)求m的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.