1 . 在
的展开式中，把
，
，
，…，
叫做三项式的
次系数列．
(1)求
的值；
(2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式
的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中
的系数可得
.利用上述思想方法，请计算
的值（可用组合数作答）．
的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．(1)求
的值；(2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式
的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）．
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解题方法
2 . 在
的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1
(1)求展开式中含
的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1(1)求展开式中含
的项；(2)求展开式中系数最大的项．
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3 . 已知二项式
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数
.
(1)求的值；
(2)二项式的展开式中
的系数为
，
的系数为
，若
，则求
的值.
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数.(1)求
的值；(2)二项式的展开式中
的系数为，的系数为，若，则求的值.
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4 . 已知二项式
展开式中的第7项是常数项.
(1)求；
(2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？
展开式中的第7项是常数项.(1)求
；(2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？
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5 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设
，
，记
，
，并规定
．记
，并规定
．定义
(1)若
，求
和
；
(2)求
；
(3)证明：
．
，，记，，并规定．记，并规定．定义(1)若
，求和；(2)求
；(3)证明：
．
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6 . 已知
的开展式共9项.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的有理项.
的开展式共9项.(1)求n的值；
(2)求展开式中的有理项.
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7 . 已知二项式 
的展开式中， . 给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是
； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项；
从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题.
(1)求实数的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项；
(3)求
的展开式中的常数项.
的展开式中， . 给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是
； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项；从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题.
(1)求实数
的值；(2)展开式中二项式系数最大的项；
(3)求
的展开式中的常数项.
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8 . 我们称
元有序实数组
为维向量，
为该向量的范数，已知维向量
，其中
，记范数为奇数的维向量
的个数为
，这个向量的范数之和为
．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值；
(3)当为偶数时，证明：
．
元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为．(1)求
和的值；(2)求
的值；(3)当
为偶数时，证明：．
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解题方法
9 . 已知二项式
的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
.
(1)求展开式中含
的项；
(2)求该二项式展开式的各项系数之和.
的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是.(1)求展开式中含
的项；(2)求该二项式展开式的各项系数之和.
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10 . 我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列
，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列
，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中
；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列
，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中
按照上述办法，第
次得到数列
，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中
，若数列
的
阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．
(1)若高阶等差数列为
，求数列的通项公式；
(2)若阶等差数列
的通项公式
．
．
，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．(1)若高阶等差数列
为，求数列的通项公式；(2)若
阶等差数列的通项公式．（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求数列的前项和
．
．
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