1 . “踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
①若，，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）

2 . 一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为.
(1)求袋子内小球的个数；
(2)若从中随机抽取个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望；
(3)若一次只抽取个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率.

3 . 已知甲口袋中有个白球，个红球（，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设.
(1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（）；
(2)化简；
(3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率.

4 . 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．

原始信息的单光子的偏振状态	0	1	2	3
解密信息的单光子的偏振状态	0，1，2	0，1，3	1，2，3	0，2，3

已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明）

5 . 产品质量是开拓市场，提升销量的制胜法宝．某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关．现有一批产品，共计件，由于生产设备发生严重故障，导致次品率达到．现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．
(1)若，质检员从中任选两件，求这两件产品都是正品的概率．
(2)记“质检件产品，正品数高于次品数”的概率为．若，求的最大值．

6 . 在班级篮球训练考核中，全班分为6个小组，每小组5人，每人投篮1次，如图是各小组的投篮成功人数的统计图．现从这6个小组中随机抽取3个，设其中投篮成功率达到的小组个数为．

   

(1)求随机变量的数学期望．
(2)若，则视为全班优秀；若，从余下的3个小组中再随机抽取1个，如果成功率不低于，那么视为全班合格；其余情况一律视为不合格．求本次篮球训练考核中全班被视为不合格的概率．

7 . 随着社会经济的发展和人们生活水平的提高，人们越来越重视生活品质，不少人渴望逃离城市的喧嚣，亲近大自然，体验乡村生活，享受阳光、空气和美景，乡村旅游的兴起正好满足了这一需求．为了了解中国乡村旅游游客群体的年龄分布，某传媒公司随机调查了300名中国乡村旅游者，统计他们的年龄（单位：岁），按照，，，，分组，得到如下频数分布表：

年龄分组
人数	20	120	100	40	20

(1)采用分层随机抽样法，从上面5组中国乡村旅游者中随机抽取n个人，且抽取的年龄在内的人比年龄在内的人多3人．若从这n个人中再随机列抽取4人，记抽到的年龄在内的人数为，抽到的年龄在内的人数为．设，求X的分布列与期望．
(2)根据数据显示，中国乡村旅游的主力军是年龄在内的人．若把样本中乡村旅游者年龄在内的频率作为中国所有乡村旅游者年龄在内的概率，则从中国乡村旅游者中随机抽取20人，年龄在内的最有可能抽到多少人？

8 . 掷两次质地均匀的骰子
(1)若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率.
(2)设事件第一次的点数为4，事件两次点数和为6，事件两次点数和为7，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？

9 . 第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个.
(1)若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率.
(2)若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望.
(3)若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率.

10 . 在“书香社区”全民阅读活动中，某社区读书联盟计划举行一次参加活动有奖送书活动，活动规则是：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外，其它都相同） 的不透明盒中，请每位参加活动的社区居民随机摸球一次，然后送书．联盟做了三种活动计划．计划1：随机摸一个球，摸到红球送一本精美图书；计划2：随机同时摸两个球，同时摸到2个都是红球送一本精美图书；计划3：随机同时摸两个球，摸到的两个球中，其中只要有一个是红球送一本精美图书．
(1)分别求活动计划1和活动计划2中，居民获得精美图书的概率；
(2)三种活动计划中，哪种计划送出的精美图书最多？为什么？