名校
解题方法
1 . 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物
拥有两个亚种（分别记为
种和
种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第
次试验中种的数目为随机变量
.设该区域中种的数目为
，种的数目为
（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求
的分布列；
(2)记随机变量
.已知
，
（i）证明：
，
；
（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为
.数据的平均值
，方差
.采用
和
分别代替
和
，给出，的估计值.
（已知随机变量
服从超几何分布记为：
（其中为总数，
为某类元素的个数，
为抽取的个数），则
）
拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.(1)求
的分布列；(2)记随机变量
.已知，（i）证明：
，；（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.（已知随机变量
服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
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解题方法
2 . 一个袋子内装有若干个颜色为红､白､黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为
，若从中随机抽取
个小球，取到异色球的概率为
.
(1)求袋子内小球的个数；
(2)若从中随机抽取
个小球，设取出白球的个数记为
，求的分布列和数学期望；
(3)若一次只抽取
个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率.
，若从中随机抽取个小球，取到异色球的概率为.(1)求袋子内小球的个数；
(2)若从中随机抽取
个小球，设取出白球的个数记为，求的分布列和数学期望；(3)若一次只抽取
个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的条件下，第一次抽取的是红球的概率.
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3 . 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为
，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为
，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为
，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时
的取值范围.
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为
，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；(2)
大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为
，求的极大值；（ii）
大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
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23-24高二下·全国·课前预习
4 . 超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为
________ ，
.其中
，
，
，
，
．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
一般地，假设一批产品共有
件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
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2024·全国·模拟预测
5 . 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径
为一级果，果径
为二级果，果径
或
以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：
），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为
的概率为
，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
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23-24高二下·全国·课堂例题
6 . 二项分布与超几何分布区别和联系？
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解题方法
7 . 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______ ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则
______ ．
表示取到的黑球个数，则
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2024高三下·全国·专题练习
解题方法
8 . 第24届哈尔滨冰雪大世界于2023年12月17日至2024年2月15日开园，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人对其满意度进行调查并进行打分（分数均在
），得到频率分布直方图如图所示，其中打分在
的人数为18．
(2)从样本中打分在
及
的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，记这2人中恰有X人的打分在，求X的分布列与数学期望．
），得到频率分布直方图如图所示，其中打分在的人数为18．
(2)从样本中打分在
及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，记这2人中恰有X人的打分在，求X的分布列与数学期望．
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名校
9 . 盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是
的事件为（ ）
的事件为（ ）| A．恰有1个是坏的 | B．4个全是好的 | C．恰有2个是坏的 | D．至多有2个是坏的 |
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解题方法
10 . 某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的
列联表：
(1)根据以上数据，判断是否有
的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
(2)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
．
列联表：更喜欢正装 | 更喜欢运动装 | |
家长 | 120 | 80 |
学生 | 160 | 40 |
的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；(2)若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
．
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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