1 . 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，两人平局的概率为
，且每局比赛结果相互独立．
(1)若
，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当
时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数
的分布列及期望
的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用
表示）．
，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．(1)若
，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当
时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数
的分布列及期望的最大值；（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用
表示）．
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解题方法
2 . 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为
，良好的概率为
；在续航测试中测试结果为优秀的概率为
，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为
.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率；
(2)求离散型随机变量
的分布列与期望.
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名校
解题方法
3 . 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从
类
道题中任选
道进行答题，答完后正确数超过两道
否则终止比赛
才能进行第二轮答题；第二轮答题从
类
道题中任选
道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得
分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分
分或
分为三等奖，
分为二等奖，
分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为
，且各题答对与否互不影响．
(1)求小张同学被终止比赛的概率；
(2)现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；
(3)求小张同学获得三等奖的概率．
类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．(1)求小张同学被终止比赛的概率；
(2)现已知小张同学第一轮中回答的
类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；(3)求小张同学获得三等奖的概率．
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2024-08-06更新
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326次组卷
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3卷引用：辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考数学试题
辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考数学试题黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2023-2024学年高三下学期第一次模拟数学试题（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题一 随机变量的期望 微点1 随机变量的分布列、期望（一）【培优版】
4 . 甲､乙､丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)设传球三次后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)传
次球后
，记球在乙手中的概率为
，求数列
的通项公式；
(3)在第（2）问的条件下，设
.求证：
.
，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.(1)设传球三次后，球在甲手中的次数为
，求随机变量的分布列和数学期望；(2)传
次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)在第（2）问的条件下，设
.求证：.
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5 . 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记
表示成功时抽球游戏的轮数，
表示对应的人数，部分统计数据如下：
经计算发现，非线性回归模型
的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）：
(3)证明：
（其中
且
）.
附：回归方程系数：
；
参考数据：设
，
(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量
，求的分布列和数学期望；(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记
表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 232 | 94 | 57 | 44 | 23 |
的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）：(3)证明：
（其中且）.附：回归方程系数：
；参考数据：设
，
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解题方法
6 . 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最大数字为，求的分布列及数学期望.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最大数字为
，求的分布列及数学期望.
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名校
7 . 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立；
（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为
，3道题全答对的概率为
，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为
，求的最小值.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为
，且回答各题的结果相互独立；（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为
，求的分布列和数学期望.(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为
，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值.
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2024-06-28更新
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299次组卷
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3卷引用：辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（二）
辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（二）山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题（已下线）模型5 以二项分布为背景的离散型随机变量问题模型（第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ）
名校
解题方法
8 . 根据《国家学生体质健康指标》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：
）
从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到
）：
男生：
女生：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，求的分布列和数学期望.
）| 立定跳远单项等级 | 高三男生 | 高三女生 |
| 优秀 | 260及以上 | 194及以上 |
| 良好 |  |  |
| 及格 |  |  |
| 不及格 | 204及以下 | 149及以下 |
）：男生：
女生：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设
为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，求的分布列和数学期望.
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2024-06-19更新
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88次组卷
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2卷引用：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
名校
解题方法
9 . 从5名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛.
(1)求选出的3人中既有男生也有女生的概率；
(2)设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
(1)求选出的3人中既有男生也有女生的概率；
(2)设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
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名校
10 . 已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按
人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？
说明：函数
先减后增.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按
人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？说明：函数
先减后增.
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0.8858 | 0.8681 | 0.8508 | 0.8337 |
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