名校
解题方法
1 . 联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”,以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献,促进联合国六种官方语言平等使用,为宣传“联合国中文日”,某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛,竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”,竞赛规则如下:
①个人赛规则:每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答,其中“拼音类”有4道,“成语类”有6道,“文化类”有8道,若答对将获得一份奖品.
②对抗赛规则:两位留学生进行答题比赛,每轮只有1道题目,比赛时两位参赛者同时回答这一个问题,若一人答对且另一人答错,则答对者获得1分,答错者得
分;若两人都答对或都答错,则两人均得0分,对抗赛共设3轮,累计得分为正者将获得一份奖品,且两位参赛者答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响.
(1)留学生甲参加个人赛,根据以往答题经验,留学生甲答对“拼音类”、“成语类”“文化类”的概率分别为
,
,
,求留学生甲答对了所选试题的概率.
(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛,根据以往答题经验,每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为
,
,求留学生乙获得奖品的概率.
①个人赛规则:每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答,其中“拼音类”有4道,“成语类”有6道,“文化类”有8道,若答对将获得一份奖品.
②对抗赛规则:两位留学生进行答题比赛,每轮只有1道题目,比赛时两位参赛者同时回答这一个问题,若一人答对且另一人答错,则答对者获得1分,答错者得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acbc6a613224461ade69362d46550474.png)
(1)留学生甲参加个人赛,根据以往答题经验,留学生甲答对“拼音类”、“成语类”“文化类”的概率分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3ffd5c35bba71ea54c28622b6cf505d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d33adb74906403b0b00fcbd9fa691d8b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eac97e6740365c85ad857aff85cefbe5.png)
(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛,根据以往答题经验,每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eac97e6740365c85ad857aff85cefbe5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
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2024-03-21更新
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2413次组卷
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2卷引用:湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习卷(三)数学试题
名校
解题方法
2 . 某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查,学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类,预习分为主动预习和不太主动预习两类,设事件A:学习兴趣高,事件B:主动预习.据统计显示,
,
,
.
(1)计算
和
的值,并判断A与B是否为独立事件;
(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关,该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
的样本,利用独立性检验,计算得
.为提高检验结论的可靠性,现将样本容量调整为原来的
倍,使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关,试确定
的最小值.
附:
,其中
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b143f7e8d4a14fd0e5fb1099275fc8bf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33359535809b2575d431a21ff54a73bd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2418f15391ed70cef9f1e233d79e8572.png)
(1)计算
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27b6f8cb2faaad82b53b2a66ee817a37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3f4cdb38d77b6c9a78c1fe6fadcec8c.png)
(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关,该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc23ed80f4eb675de347f5f905cd10da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2201d3c79350030afaefc571701e16cc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23ddd5a2eeb6cbf7a8dca32f4eaea046.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
附:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187714e660234f0b72f2b47d3ea685a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
![]() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2024-03-12更新
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1383次组卷
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2卷引用:湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习数学试卷
名校
解题方法
3 . 三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版,球场为
米,比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神,丰富学生业余生活、组织“挑战擂王”三人篮球赛,为了增强趣味性和观赏性,比赛赛制为三局二胜制,即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利(每局积分多的队获得该局胜利,若积分相同则加时决出胜负).每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场(终止本场比赛资格).该校的勇士队挑战“擂王”公牛队,李明是公牛队的主力球员,据以往数据分析统计,若李明比赛没有被罚出场,公牛队每局比赛获胜的概率都为
,若李明被罚出场或李明没有上场比赛,公牛队每局比赛获胜的概率都为
,设李明每局比赛被罚出场的概率为
且
.
(1)若李明参加了每局的比赛,且![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79a18d2bd429301b5478dcd26c572266.png)
(i)求公牛队每局比赛获胜的概率;
(ii)设比赛结束时比赛局数为随机变量
,求随机变量
的分布列和数学期望;
(2)为了增强比赛的娱乐性,勇士队和公牛队约定:李明全程上场比赛,但若李明被罚出场,则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A为公牛队2:0获得挑战赛胜利,求事件A的概率的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14e2cc747c4bfdee2fcdd4b982686171.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b2a698891d42c70b597f0da4f215f09.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9241050030b9908878d24f36fd001ec.png)
(1)若李明参加了每局的比赛,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79a18d2bd429301b5478dcd26c572266.png)
(i)求公牛队每局比赛获胜的概率;
(ii)设比赛结束时比赛局数为随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)为了增强比赛的娱乐性,勇士队和公牛队约定:李明全程上场比赛,但若李明被罚出场,则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A为公牛队2:0获得挑战赛胜利,求事件A的概率的最小值.
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名校
解题方法
4 . 2023年10月11日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态,量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有
的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为
.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且
,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
(2)若一条信息有
种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为
,
,…,
,则称
(其中
)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为
的信息熵
;
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为
(
,2,3,⋯,
,⋯).证明:当
无限增大时,
的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:
时,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/79a18d2bd429301b5478dcd26c572266.png)
(2)若一条信息有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ef66ba6d5421383f47b4783db53bf7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8be646cd52d7f2f1714e7542e75810f2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/adad9633b73dfbbb3d84b4f15979e99e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b930a98ed7eb5ae313050f7c97d2a16c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33c5a2ba6cfa94756ac1a0f74ac9e4f2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73465a1f9aa03481295bf6bd3c6903ac.png)
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f157de581046dc6a6002f771b60ad61c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
参考公式:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ca664b1e82da6f50064a76fe118aa80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d71b352414c4a600fc4ea827a0c64f22.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6c0aceee7cba466e6bf17f43d15bf25f.png)
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2024-03-04更新
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1782次组卷
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4卷引用:湖南省新高考十八校联盟2024届高三下学期3月月考数学试题
湖南省新高考十八校联盟2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)第2套 重组模拟卷(模块二 2月开学)(已下线)专题09 计数原理与随机变量及分布列(讲义)湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题
5 . 如图,用
三个不同的元件连接成一个系统
.当元件
正常工作且元件
至少有一个正常工作时,系统
正常工作.已知元件
正常工作的概率依次为
,则系统
能正常工作的概率为________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e65e736b01520da33ded367f92f43ca.png)
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2024-02-28更新
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261次组卷
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4卷引用:湖南省永州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题
湖南省永州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月质量检测卷数学试题河南省驻马店市2023-2024学年高一上学期1月期终考试数学试题(已下线)15.3 互斥事件和独立事件(1)-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)(已下线)专题06 概率-期末真题分类汇编(人教A版2019必修第二册)
名校
6 . 某高校的大一学生在军训结束前,需要进行各项过关测试,其中射击过关测试规定:每位测试的大学生最多有两次射击机会,第一次射击击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得5分;第一次未击中靶标,继续进行第二次射击,若击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得4分;若未击中靶标,射击测试未能过关,得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试,假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为
,0.5,每位大学生射击测试过关的概率为
.
(1)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为
,求
取最大值时
和
的值;
(2)在(1)的结果下,求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
(1)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/060d9334136396f95e9dcd328486f9d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/060d9334136396f95e9dcd328486f9d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
(2)在(1)的结果下,求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.
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名校
解题方法
7 . 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤,其均有止咳润肺的功效.某同学每天中午都会在两种汤中选择一种,已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为
,若前一天选择冰糖雪梨汤,则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为
,而前一天选择苹果百合汤,后一天继续选择苹果百合汤的概率为
,如此往复.
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
(2)记该同学第
天中午选择冰糖雪梨汤的概率为
,证明:
为等比数列.
(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率.
(2)记该同学第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8cfe0ccc18feef217770312ac21ade7e.png)
(3)求从第1天到第10天中,该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数.
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2024-02-27更新
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1351次组卷
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5卷引用:湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题
湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题湖南省邵阳市新邵县第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考(开学考)数学试题广西壮族自治区桂林市2023-2024学年高二下学期入学联合检测卷数学试题(已下线)专题3.5马尔科夫链模型(强化训练)-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避(人教A版2019)
名校
解题方法
8 . 小郡玩一种跳棋游戏,一个箱子中装有大小质地均相同的且标有
的10个小球,每次随机抽取一个小球并放回,规定:若每次抽取号码小于或等于5的小球,则前进1步,若每次抽取号码大于5的小球,则前进2步.每次抽取小球互不影响,记小郡一共前进
步的概率为
,则下列说法正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4ea3e41ee298c82dc3c7e943fff3a64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
A.![]() |
B.![]() |
C.![]() |
D.小华一共前进3步的概率最大 |
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2024-02-27更新
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1941次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模数学试题
名校
9 . 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史,于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介,走到世界舞台的中央,诉说中国传统非遗故事.为弘扬中华传统文化,某市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛),最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前,积分同者名次并列),积分规则为每队胜一场得3分,平场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为
,则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2024-02-27更新
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1582次组卷
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5卷引用:湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(二)数学试卷
湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(二)数学试卷江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题(已下线)专题09 计数原理与随机变量及分布列(讲义)(已下线)第二套 艺体生新高考全真模拟 (一模重组卷)河北省重点高中2024届高三下学期5月模拟考试数学试题(一)
名校
解题方法
10 . 某同学参加学校组织的数学知识竞赛,在5道四选一的单选题中有3道有思路,有2道完全没有思路,有思路的题目每道做对的概率为
,没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题,则该同学2道题目都做对的概率为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2024-02-24更新
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2316次组卷
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8卷引用:湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题广西壮族自治区南宁市第三中学、柳州高级中学2024届高三下学期一轮复习诊断性联考数学试卷(已下线)第六章 计数原理(单元测试)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)专题09 计数原理与随机变量及分布列(分层练)(三大题型+8道精选真题)(已下线)专题08 平面向量、概率、统计、计数原理山西省大同市第一中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题云南省昆明市第三中学2023-2024学年高二下学期第二次综合测试(4月)数学试题辽宁省锦州市某校2023-2024学年高三下学期考前测试数学试卷(A)